«Я попробовал, и у меня не получилось»
«Я попробовал, и у меня не получилось» Представьте, ребёнок решает математическую задачу ⬇️ Нужно разрезать фигуру на несколько одинаковых частей или доказать, что это невозможно. Он пробует. Не получается. — Ну, значит, нельзя! А правда нельзя? Или пока не получилось? В математике это очень разные вещи. 📌 Если мы хотим доказать, что что-то возможно, достаточно показать хотя бы один способ. А вот если хотим доказать, что невозможно, нужно объяснить, почему не подойдёт ни один из возможных способов. И это бывает удивительно трудно! 🔍 Например, можно ли разделить равносторонний треугольник на пять одинаковых частей? На 2, 3 или 4 — легко. А вот попробуйте на 5! В 2017 году математик Михаил Патракеев опубликовал решение одной из версий этой задачи. Оказалось, что можно, если разрешить каждой фигуре состоять из нескольких отдельных кусочков. Посмотрите! Здесь пять фигур, обозначенных разными цветами. Каждая состоит из нескольких отдельных кусочков, но все пять абсолютно одинаковые если их покрутить. Оказывается, решение можно найти, если отказаться от привычного представления о том, что каждая часть обязательно должна быть цельной. А иногда происходит наоборот: что-то кажется очевидным, но доказать это невероятно трудно. 🔍 Например, как расположить одинаковые шары, чтобы они занимали как можно меньше места? Ещё в XVII веке Иоганн Кеплер предположил, что плотнее всего шары можно уложить так, как обычно складывают апельсины на прилавке. Казалось бы, очевидно! Но строго доказать это удалось только в 1998 году. Доказательство оказалось настолько сложным, что для его окончательной компьютерной проверки понадобилось ещё шестнадцать лет. А теперь вернёмся к школьной математике ⬇️ Попробуйте разрезать прямоугольник размером 3 × 4 клетки на три одинаковые фигурки в форме буквы Т, каждая из которых состоит из четырёх клеток. Если попробовать несколько раз, возникнет ощущение, что это невозможно. Но как доказать? Можно перебрать все варианты. Это реально, но потребует внимательности. А можно придумать кое-что поинтереснее... Раскрасим прямоугольник в шахматном порядке. Получится 6 белых и 6 чёрных клеток. Посмотрим на нашу фигурку Т. Как ни поворачивай, она будет занимать либо 1 чёрную и 3 белые клетки, либо 3 чёрные и 1 белую. То есть каждая фигурка занимает нечётное количество чёрных клеток. Но фигурок у нас 3! А сумма трёх нечётных чисел всегда нечётная. Получается, при таком разрезании чёрных клеток должно быть нечётное количество. А их 6! Противоречие. Значит, разрезать прямоугольник таким образом действительно невозможно. И что круто, это рассуждение поможет доказать то же самое про прямоугольник 33 × 44 клетки, перебор здесь безнадёжен. 📌 Мы только что познакомились с одной из красивейших математических идей: иногда, чтобы доказать невозможность чего-то, достаточно найти свойство, которое обязательно должно сохраняться, но при предполагаемом решении сохранить его не удаётся. Такие свойства математики называют инвариантами и это лишь один из множества способов доказывать, что что-то возможно или невозможно. В математике очень много чудесных историй о том, как люди столетиями пытались что-то сделать, пока не находили решение. Или, наоборот, доказывали, что решения не существует. 🔍 Например, ещё древнегреческие математики пытались разделить произвольный угол на три равные части с помощью циркуля и линейки. И лишь спустя более двух тысяч лет, в 1837 году, удалось строго доказать, что в общем случае это невозможно. Для этого понадобились новые математические идеи, связанные с алгеброй. Удивительно! В конечном счёте математика — про поиск истины. Замечательно, что в младших классах ребёнок может самостоятельно добывать небольшие кусочки истины. Этот текст подготовил наш преподаватель Вадим Если вам близок такой подход к математике, к Вадиму можно записаться на индивидуальные занятия, он занимается с учениками 2-6 классов. Расскажите администратору, что хотите на занятия к определённому преподавателю
Канал в каталоге Максиметера
1 184 подписчиков · Наука