Математическое ожидание
Математическое ожидание Продолжаем тему дискретных случайных величин. Теперь, когда мы умеем строить закон распределения, можно задать главный вопрос. Какое значение случайной величины следует ожидать в среднем? Ответ на этот вопрос даёт математическое ожидание. 🎰 Пример: лотерея Начнём сразу с жизненного примера. Допустим, проводится лотерея. Билет стоит 100 рублей. Всего продаётся 1000 билетов. Один билет выигрывает 50000 рублей, два билета выигрывают по 5000 рублей, десять билетов выигрывают по 1000 рублей. Остальные билеты не выигрывают ничего. Вопрос: стоит ли покупать билет? Интуитивно хочется ответить: есть шанс выиграть 50000, значит стоит. Но на одной интуиции далеко не уедешь. Нужно посчитать, на какой выигрыш можно рассчитывать в среднем. Сначала запишем все возможные значения выигрыша и их вероятности. - 50000 рублей: 1 билет из 1000, вероятность = 1/1000 = 0.001 - 5000 рублей: 2 билета из 1000, вероятность = 2/1000 = 0.002 - 1000 рублей: 10 билетов из 1000, вероятность = 10/1000 = 0.01 - 0 рублей: остальные 987 билетов, вероятность = 987/1000 = 0.987 Теперь посчитаем средний выигрыш. Для этого каждое возможное значение выигрыша умножим на его вероятность и всё сложим. 50000 × 0.001 = 50 5000 × 0.002 = 10 1000 × 0.01 = 10 0 × 0.987 = 0 Складываем: 50 + 10 + 10 + 0 = 70 рублей. Это и есть математическое ожидание выигрыша. 70 рублей. А билет стоит 100 рублей. Значит, в среднем каждый билет приносит убыток в 30 рублей. 🔺🔻🔺 Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взятое с учётом вероятностей. Если провести опыт много раз, то среднее арифметическое полученных значений будет стремиться к математическому ожиданию. В случае с лотереей это означает вот что. Если купить один билет, можно выиграть 50000, можно 5000, можно ничего. Но если купить тысячу таких билетов на тысячу подобных лотерей, то средний выигрыш на один билет будет около 70 рублей. И в итоге потеряешь примерно 30 рублей с каждого билета. Ожидание не гарантирует результат в одном конкретном опыте. Один конкретный билет может принести и 50000. Но ожидание даёт ориентир для долгосрочной стратегии. Оно подсказывает: играть в такую лотерею невыгодно. Формула Теперь, когда смысл понятен, запишем общую формулу. Для дискретной случайной величины математическое ожидание считается так: Берём каждое возможное значение, умножаем на его вероятность и всё складываем. E(X) = x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + ... + xₙ × pₙ Где x₁, x₂, ..., xₙ — возможные значения, а p₁, p₂, ..., pₙ — их вероятности. В лотерее мы ровно это и проделали. Только в роли x были суммы выигрыша, а в роли p — доли билетов с таким выигрышем.