Рассмотрим сегодня основные свойства числовых неравенств 🙃
Рассмотрим сегодня основные свойства числовых неравенств 🙃 Свойство 1. Можно прибавлять одно и то же число Если a > b, то a + c > b + c для любого c. Пример: 5 > 3. Прибавим 2 к обеим частям: 7 > 5 ✔ — знак не изменился. Прибавим −10: −5 > −7 ✔ — тоже верно. Вывод: прибавление (или вычитание) любого числа не меняет знак неравенства. Свойство 2. Умножение на положительное число Если a > b и c > 0, то ac > bc. Пример: 4 > 2. Умножим на 3 ( с ): 12 > 6 ✔ — знак не изменился. Свойство 3. Умножение на отрицательное число — знак меняется! Если a > b и c < 0, то ac < bc. Пример: 4 > 2. Умножим на −1: −4 < −2 ✔ — знак перевернулся. Почему так? На координатной прямой числа «отражаются» относительно нуля, и порядок меняется на противоположный. 4 правее 2, но −4 левее −2. Это самое важное правило! При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства обязательно меняется на противоположный. Сложение числовых неравенств Теорема. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Неравенства одинакового знака можно складывать почленно. Пример: • 5 > 3 • 4 > 1 • Складываем: 5 + 4 > 3 + 1 → 9 > 4 ✔ Ещё пример: • 7 > 2 • 1 > −3 • 7 + 1 > 2 + (−3) → 8 > −1 ✔ Важно: складывать можно только неравенства одного знака (оба «>» или оба «<»). Если знаки разные — складывать почленно нельзя. Как складывать неравенства с разными знаками. Если знаки разные, сначала приводят к одному знаку или используют другие методы. Пример: 5 > 3 и 2 < 7. Второе перепишем как 7 > 2. Теперь: 5 > 3 и 7 > 2 → 12 > 5 ✔. Умножение числовых неравенств Теорема. Если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd. Неравенства можно умножить почленно, но только если все части положительные. Пример: • 5 > 3 (оба положительные) • 4 > 2 (оба положительные) • 5 · 4 > 3 · 2 → 20 > 6 ✔ Когда умножать нельзя: 1. Если есть отрицательные числа. Пример: −2 > −5 и 3 > 1. Умножим: −6 > −5? Нет, −6 < −5. ✘ Теорема не работает. 2. Если знаки разные. Пример: 5 > 3 и −1 > −4. Умножим: −5 > −12? −5 > −12 верно, но правило не гарантирует результат: при других числах оно может нарушиться. Вывод: почленное умножение — только для положительных чисел. Типичные ошибки при вычислении 1. Забывают менять знак при умножении на отрицательное число. Это ошибка №1. Запомни: × (−1) → знак переворачивается. 2. Складывают неравенства разных знаков. Нельзя: 5 > 3 и 2 < 7 → 7 > 10? Нет. Сначала приведи к одному знаку. 3. Умножают неравенства с отрицательными числами. Теорема работает только для положительных. 4. Путают сложение и умножение. При сложении знак не меняется. При умножении на отрицательное — меняется. 5. Считают, что если a > b, то a² > b². Не всегда! Например, −3 > −5, но 9 < 25. 6. Ошибки при оценке разности. При вычитании неравенств нужно переворачивать знак у вычитаемого. Ашот Маргарян | MATH CODE