Конечные и бесконечные множества
Конечные и бесконечные множества Это тема из теории множеств, которая отвечает на вопрос: «Сколько элементов содержится в множестве?» Можно ли их посчитать, или счёт никогда не закончится. Что такое множество? Множество — это совокупность объектов, которые мы рассматриваем как единое целое. Объекты называются элементами множества. Примеры: - A = {1, 2, 3, 4, 5} — множество цифр - B = {a, b, c}— множество букв - C = {x | x— чётное число} — множество всех чётных чисел Конечные множества Конечное множество — это множество, которое содержит ограниченное (конечное) число элементов. Их можно пересчитать, и счёт когда-нибудь закончится. - {1, 2, 3} — 3 элемента - Множество дней недели — 7 элементов - Множество учеников в классе — например, 25 элементов - Пустое множество ∅ — 0 элементов (тоже конечное!) Обозначение: число элементов конечного множества A обозначают |A| или n(A). Пример: если A = {2, 4, 6, 8}, то |A| = 4. Свойства: - Можно перечислить все элементы. - Можно сказать «в этом множестве ровно N элементов». - Любое подмножество конечного множества тоже конечно. Бесконечные множества Бесконечное множество — это множество, которое содержит неограниченное число элементов Сколько бы мы ни считали, счёт никогда не закончится. Примеры: - N = {1, 2, 3, 4, ...} — натуральные числа - Z = {... , -2, -1, 0, 1, 2, … } — целые числа - Q — рациональные числа - R — действительные числа - Множество точек на прямой - Множество всех чётных чисел Обозначение: мощность бесконечного множества обозначают символом ∞ (но это не число, а характеристика «без конца»). Как отличить конечное от бесконечного? Простой признак: можно ли поставить элементам множества номера так, чтобы счёт закончился? - Если да → множество конечное. - Если нет (счёт продолжается бесконечно) → бесконечное. Пример: - {5, 10, 15} → конечное - {5, 10, 15, 20, …} → бесконечное Виды бесконечных множеств Бесконечные множества бывают счётными и несчётными. - Счётное множество — элементы можно пронумеровать натуральными числами (1, 2, 3, …), даже если их бесконечно много. Пример: натуральные числа, целые числа, чётные числа. - Несчётное множество — элементы невозможно пронумеровать. Пример: действительные числа R, точки отрезка [0; 1]. Сравнение множеств по количеству элементов - Для конечных множеств всё просто: сравниваем числа элементов. - {1,2,3} и {4,5} — первое больше. - Для бесконечных множеств работает другой принцип: взаимно однозначное соответствие. - Если каждому элементу одного множества можно сопоставить ровно один элемент другого (и наоборот), то множества «равномощны». - Например, натуральных чисел столько же, сколько чётных, хотя чётные — «часть» натуральных. Это парадокс бесконечных множеств. Итог - Конечное множество — можно посчитать элементы, счёт заканчивается. - Бесконечное множество — элементов бесконечно много, счёт не заканчивается. - Различают счётные и несчётные бесконечные множества. - Для сравнения бесконечных множеств используют взаимно однозначное соответствие. Ашот Маргарян | MATH CODE