Дисперсия, стандартное отклонение и вывод
Дисперсия, стандартное отклонение и вывод Продолжаем тему дискретных случайных величин. В прошлый раз мы разобрали математическое ожидание -среднее значение, вокруг которого группируются результаты. Теперь встаёт следующий вопрос. 💡Две случайные величины могут иметь одинаковое ожидание, но вести себя совершенно по-разному. Одна почти всегда выдаёт значения близко к среднему, а другая скачет от очень маленьких до очень больших. Как измерить этот разброс? Для этого вводят дисперсию. Сначала пример Представьте две лотереи. 🟣Первая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 0 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 1000 рублей. 🟣Вторая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 499 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 501 рубль. Посчитаем ожидание для обеих. Первая: 0 × 0.5 + 1000 × 0.5 = 500. Вторая: 499 × 0.5 + 501 × 0.5 = 500. Ожидание одинаковое -500 рублей. Но ощущение от лотерей разное. В первой результат непредсказуем — либо ничего, либо тысяча. Во второй результат почти гарантированно около пятисот. Нужно число, которое измерит эту разницу. Мы хотим понять, насколько сильно значения в среднем отклоняются от ожидания. Начнём с простого. ✔️Возьмём первую лотерею. Ожидание 500. Смотрим на каждое значение и считаем, насколько оно отклонилось от ожидания. Для 0: отклонение = 0 − 500 = −500 Для 1000: отклонение = 1000 − 500 = 500 Теперь попробуем усреднить эти отклонения. Умножим каждое на его вероятность и сложим. (−500) × 0.5 + 500 × 0.5 = −250 + 250 = 0 Получился ноль. И так будет всегда. Потому что отрицательные и положительные отклонения гасят друг друга. Это особенность самого определения ожидания -оно находится ровно в центре, поэтому сумма отклонений в обе стороны одинакова. Значит, просто усреднять отклонения нельзя. Нужно убрать минусы. Есть два способа: взять модуль или возвести в квадрат. В математике пошли по второму пути. Квадраты удобнее для дальнейших вычислений. ✔️Поэтому мы делаем так. Сначала возводим каждое отклонение в квадрат. Потом умножаем на вероятность. Потом складываем. Для первой лотереи. Отклонение для 0: −500. Квадрат: (−500)² = 250000. Отклонение для 1000: 500. Квадрат: 500² = 250000 Теперь умножаем на вероятности и складываем: 250000 × 0.5 + 250000 × 0.5 = 125000 + 125000 = 250000 Это число и есть дисперсия. Оно показывает средний квадрат отклонения от ожидания. 🤍Считаем для второй лотереи. Мат ожидание тоже 500 Отклонение для 499: 499 − 500 = −1. Квадрат: 1 Отклонение для 501: 501 − 500 = 1. Квадрат: 1. Умножаем на вероятности и складываем: 1 × 0.5 + 1 × 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1 Дисперсия равна 1. Сравните: 250000 против 1. Теперь у нас есть число, которое показывает, насколько сильно различаются разбросы в двух лотереях. Общая формула Теперь соберём всё вместе. Дисперсия обозначается D(X). Формула выглядит так. D(X) = (x₁ − E)² × p₁ + (x₂ − E)² × p₂ + ... + (xₙ − E)² × pₙ Где xᵢ — возможные значения, E — математическое ожидание, pᵢ — вероятности. Словами: берём каждое значение, вычитаем ожидание, возводим в квадрат, умножаем на вероятность этого значения, всё складываем. Стандартное отклонение У дисперсии есть одна неудобная особенность. Она измеряется в квадратных единицах. Если выигрыш в рублях, то дисперсия в квадратных рублях. Это трудно интерпретировать. Например, в первой лотерее дисперсия 250000 квадратных рублей. Много это или мало -непонятно. Поэтому вводят ещё одну величину -стандартное отклонение. Это просто квадратный корень из дисперсии. σ(X) = √D(X) Для первой лотереи: σ = √250000 = 500 рублей. Для второй лотереи: σ = √1 = 1 рубль. Вот теперь понятно. В первой лотерее значения в среднем отклоняются от ожидания на 500 рублей. Во второй — на 1 рубль. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, поэтому его удобно использовать. В следующий раз перейдём к непрерывным случайным величинам.