Пусть неизвестная функция f задана на всей вещественной прямой. В момент t нам известны...

Пусть неизвестная функция f задана на всей вещественной прямой. В момент t нам известны все её значения при x < t, и требуется предсказать f(t). Непрерывность или другие условия регулярности не предполагаются. Теорема Кристофера Хардина и Алана Тейлора утверждает, что существует единая стратегия, которая для каждой такой функции ошибается лишь на счётном нигде не плотном множестве моментов. Множество ошибок может зависеть от функции. Здесь «почти всегда» имеет точный смысл, без вероятностной модели. Построение использует аксиому выбора. Зафиксируем вполне упорядочение множества всех функций из ℝ в ℝ. Это такой порядок, в котором у любого непустого подмножества есть наименьший элемент. Среди функций, совпадающих со всей наблюдавшейся историей, выберем наименьшую и выдадим её значение в момент t как прогноз. По мере поступления данных множество допустимых функций сужается. Поэтому выбранная функция может только продвигаться вверх по фиксированному порядку. Если прогноз ошибочен, после раскрытия настоящего значения прежняя кандидатура уже не подходит. Именно сочетание этого продвижения с вполне упорядоченностью позволяет ограничить множество ошибок. Результат распространяется и на ближайшее будущее. Та же выбранная функция служит прогнозом продолжения. Кроме счётного нигде не плотного множества исключительных моментов t, она совпадает с настоящей функцией на некотором интервале t, t + ε), где ε > 0. Длина этого интервала заранее не фиксирована. Для непрерывных функций это тоже содержательный результат, хотя их значение в текущий момент уже определяется пределом слева. Важна цена такого предсказания. Мы используем всю точную историю на бесконечном промежутке и вполне упорядочение пространства функций. Доказательство неконструктивно и не даёт конкретной практически полезной процедуры прогнозирования. Это теорема существования, основанная на аксиоме выбора. Изложение Джоэла Дэвида Хэмкинса «The Nearly Perfect Prediction Theorem» https://www.ams.org/journals/notices/202503/noti3098/noti3098.html DOI статьи https://doi.org/10.1090/noti3098 PDF выпуска Notices AMS https://www.ams.org/journals/notices/202609/202609FullIssue-optimized.pdf?adat=&trk=&cat=none&type=.pdf Статья Хардина и Тейлора «A peculiar connection between the axiom of choice and predicting the future», 2008, запись MathSciNet https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2384262 Их книга «The mathematics of coordinated inference», 2013 https://doi.org/10.1007/978-3-319-01333-6 Запись MathSciNet о книге https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3100500 Наши каналы [MAX · Telegram · Дзен #ТеорияМножеств #АксиомаВыбора #Матлогика #Предсказание