Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными Что это такое? Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c, где: ▪ x и y — переменные (неизвестные), ▪ a, b, c — числа (коэффициенты), ▪ a и b не равны нулю одновременно. Примеры: • 2x + 3y = 6 • x − y = 0 • 5x + 2y = 10 • −x + 4y = 8 Примеры нелинейных уравнений: • x² + y = 3 (есть x²) • xy = 6 (произведение переменных) • 1/x + y = 2 (переменная в знаменателе) Что значит «решить уравнение»? Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все пары чисел (x; y) , которые при подстановке превращают уравнение в верное равенство. Запомним: решением является пара чисел, а не одно число. Их всегда записывают в скобках: (x; y) . Пример: 2x + 3y = 6 Проверим пару (3; 0): 2 · 3 + 3 · 0 = 6 + 0 = 6 — подходит. Проверим пару (0; 2): 2 · 0 + 3 · 2 = 0 + 6 = 6 — тоже подходит. Проверим пару (1; 1): 2 · 1 + 3 · 1 = 2 + 3 = 5 ≠ 6 — не подходит. Вывод: у такого уравнения много решений. Каждой паре соответствует точка на координатной плоскости. График линейного уравнения График уравнения ax + by = c — это прямая линия на координатной плоскости. Почему прямая? Если выразить y через x, получится y = kx + m — знакомая линейная функция, график которой — прямая. Как построить график: 1. Выразить y через x. 2. Найти две точки (достаточно двух, потому что прямая определяется двумя точками). 3. Отметить их на координатной плоскости. 4. Провести прямую через них. Пример: построим график 2x + 3y = 6. Выразим y: y = (6 − 2x) / 3. Найдём две удобные точки: • x = 0 → y = 2 → точка (0; 2) • x = 3 → y = 0 → точка (3; 0) Отмечаем точки и проводим прямую. Каждая точка на этой прямой — решение уравнения. Особые случаи Случай 1: a = 0 → by = c Пример: 0 · x + 2y = 6 → y = 3. Это горизонтальная прямая на высоте y = 3. Решения: любые пары (x; 3), где x — любое число. Случай 2: b = 0 → ax = c Пример: 3x + 0 · y = 9 → x = 3. Это вертикальная прямая на уровне x = 3. Решения: любые пары (3; y), где y — любое число. Случай 3: c = 0 → ax + by = 0 Пример: x − y = 0 → y = x. Прямая проходит через начало координат. Решения: (0; 0), (1; 1), (2; 2), (−3; −3) и так далее. Частые ошибки при решении линейных уравнений 1. Считают, что решение — одно число. Нет, решение — это пара (x; y). 2. Думают, что решений конечное число. У линейного уравнения с двумя переменными бесконечно много решений. 3. Ошибки при выражении одной переменной через другую. Например, из 2x + 3y = 6: y = (6 − 2x)/3, а не 6 − 2x. Делить надо всё. 4. Путают график уравнения с графиком функции. График уравнения — это все точки, удовлетворяющие уравнению. 5. Забывают, что a и b не могут быть нулями одновременно. Если a = 0 и b = 0, уравнение принимает вид 0 = c — либо тождество, либо противоречие. Ашот Маргарян | MATH CODE